Скорее всего проблема заключается в следующем: страницы грузятся долго - только время ответа сервера более секунды, согласно pagespeed insights, соответственно, полная загрузка страницы займет еще больше времени. При одновременном посещении нескольких юзеров и небольшом max_user_connections (что характерно для дешевого хостинга) лимит на подключения исчерпывается и сайт перестает работать.
Принятые меры (crawl-delay=30) частично спасут ситуацию, рекомендовав ботам пореже заходить на сайт, но не устранят корень проблемы, связанный с его медленной работой. Это может быть как слабый хостинг, так и недостаточная оптимизация (или всё вместе).
У тебя какой-то кеширующий плагин уже стоит, скорее всего cache manager, в настройках установи время кеширования во всех пунктах побольше, эдак с недельку, т.к. дефолтные параметры модуля далеки от идеала, а их часто забывают настроить.
Также в панели управления хостера возможно будут какие-нибудь варианты для ускорения сайта (в последнее время всё чаще встречаю галочку для подключения pagespeed - у тебя на сайте он не установлен).
На сайте стоит php 5.6, php7 работает шустрее, иногда переключить версии можно также в панели управления хостингом. Возможно, после такого перехода потребуется исправить ошибки в модулях, связанные с небольшими различиями в синтаксисе.
Ну и если у тебя не VPS - переезжай поскрее, затраты вырастут ненамного, но плюсов ты получишь больше.